Vienādojumu sauc par matemātisko vienlīdzību, kas pastāv starp divām izteiksmēm, to veido dažādi zināmie (dati) un nezināmie (nezināmie) elementi, kas ir saistīti ar matemātiskām skaitliskām operācijām. Datus parasti attēlo koeficienti, mainīgie, skaitļi un konstantes, savukārt nezināmie ir apzīmēti ar burtiem un apzīmē vērtību, kuru vēlaties atšifrēt, izmantojot vienādojumu. Vienādojumi tiek plaši izmantoti, galvenokārt, lai parādītu visprecīzākās matemātisko vai fizisko likumu formas, kas izsaka mainīgos.
Kas ir vienādojums
Satura rādītājs
Šis termins nāk no latīņu valodas "aequatio", kura nozīme attiecas uz izlīdzināšanu. Šis uzdevums ir matemātiska vienlīdzība, kas pastāv starp divām izteiksmēm, tās ir pazīstamas kā locekļi, bet tās atdala zīme (=), tajās ir zināmi elementi un daži dati vai nezināmi, kas saistīti ar matemātiskām operācijām. Vērtības ir skaitļi, konstantes vai koeficienti, lai gan tie var būt arī objekti, piemēram, vektori vai mainīgie.
Elementi vai nezināmie tiek noteikti, izmantojot citus vienādojumus, bet izmantojot vienādojumu risināšanas procedūru. Vienādojumu sistēma tiek pētīta un atrisināta ar dažādām metodēm, faktiski tas pats notiek ar apkārtmēru vienādojumu.
Vienādojumu vēsture
Ēģiptes civilizācija bija viena no pirmajām, kas izmantoja matemātiskos datus, jo līdz 16. gadsimtam viņi jau izmantoja šo sistēmu, lai atrisinātu problēmas, kas saistītas ar pārtikas izplatīšanu, lai arī tos nesauca par vienādojumiem, tomēr varētu teikt, ka tas ir līdzvērtīgs pašreizējam laikam.
Ķīniešiem bija arī zināšanas par šādiem matemātiskiem risinājumiem, jo laikmeta sākumā viņi uzrakstīja grāmatu, kurā tika piedāvātas dažādas metodes otrās un pirmās klases vingrinājumu risināšanai.
Viduslaikos matemātiskajiem nezināmajiem bija liels stimuls, jo tā laika eksperti matemātiķi tos izmantoja kā publiskas problēmas. XVI gadsimtā divi nozīmīgi matemātiķi atklāja iedomātu skaitļu izmantošanu, lai atrisinātu otrās, trešās un ceturtās pakāpes datus.
Arī tajā gadsimtā Renē Dekarts padarīja zinātnisko apzīmējumu slavenu, turklāt šajā vēsturiskajā posmā tika publiskota arī viena no populārākajām matemātikas teorēmām "Fermata pēdējā teorēma".
Septiņpadsmitajā gadsimtā zinātnieki Gotfrīds Leibnics un Īzaks Ņūtons ļāva atrisināt diferenciālo nezināmo, kas radīja virkni atklājumu, kas tajā laikā notika saistībā ar šiem īpašajiem vienādojumiem.
Daudzi bija matemātiķu centieni līdz 19. gadsimta sākumam, lai atrastu risinājumu piektās pakāpes vienādojumiem, taču visi bija neveiksmīgi mēģinājumi, līdz Nīls Henriks Ābels atklāja, ka nav vispārējas formulas piektās pakāpes aprēķināšanai, šajā laikā fizika izmantoja diferenciālos datus integrālos un atvasinātos nezināmos, kas radīja matemātisko fiziku.
20. gadsimtā tika formulēti pirmie kvantu mehānikā izmantotie diferenciālvienādojumi ar sarežģītām funkcijām, kuriem ekonomikas teorijā ir plašs pētījumu lauks.
Jāatzīmē arī Diraka vienādojums, kas ir daļa no relatīvistisko viļņu pētījumu kvantu mehānikā un kuru 1928. gadā formulēja Pols Diraks. Diraka vienādojums pilnībā atbilst īpašajai relativitātes teorijai.
Vienādojuma raksturojums
Šiem vingrinājumiem ir arī virkne specifisku īpašību vai elementu, tostarp dalībnieki, termini, nezināmie un risinājumi. Locekļi ir tie izteicieni, kas atrodas tieši blakus vienādības zīmēm. Termini ir tie papildinājumi, kas ir biedru daļa, tāpat nezināmie attiecas uz burtiem un visbeidzot uz risinājumiem, kas attiecas uz vērtībām, kas pārbauda vienlīdzību.
Vienādojumu veidi
Ir dažādi matemātisko vingrinājumu veidi, kas mācīti dažādos izglītības līmeņos, piemēram, līnijas vienādojums, ķīmiskais vienādojums, līdzsvarojošie vienādojumi vai dažādas vienādojumu sistēmas, tomēr ir svarīgi pieminēt, ka tos klasificē algebriskie dati, kas savukārt var būt pirmās, otrās un trešās pakāpes, diofantīni un racionāli.
Algebriskie vienādojumi
Tas ir vērtējums, kas izteikts P (x) = 0 formā, kurā P (x) ir polinoms, kas nav nulle, bet nav nemainīgs un kam ir veseli skaitļa koeficienti ar pakāpi n ≥ 2.
- Lineārā: tā ir vienlīdzība, kurai pirmajā jaudā ir viens vai vairāki mainīgie, un starp šiem mainīgajiem nav nepieciešami produkti.
- Kvadrāts: tam ir ax² + bx + c = 0 izteiksme ar ≠ 0. šeit mainīgais ir x, ya, b un c ir konstantes, kvadrātiskais koeficients ir a, kas atšķiras no 0. Lineārais koeficients ir b un termins neatkarīgs ir c.
To raksturo tas, ka tas ir polinoms, kuru interpretē, izmantojot parabolas vienādojumu.
- Kubiskais: kubiskie dati, kuriem nav zināms, tiek atspoguļoti trešajā pakāpē ar a, b, c un d (a ≠ 0), kuru skaitļi ir reālu vai sarežģītu skaitļu ķermeņa daļa, taču tie attiecas arī uz racionāliem cipariem.
- Biquadratic: ir viena mainīgā, ceturtās pakāpes algebriskā izteiksme, kurai ir tikai trīs termini: viens no 4. pakāpes, viens no 2. pakāpes un neatkarīgs termins. Biquad vingrinājuma piemērs ir šāds: 3x ^ 4 - 5x ^ 2 + 1 = 0.
Tas saņem šo nosaukumu, jo mēģina izteikt to, kas būs galvenais jēdziens, lai izklāstītu noregulējuma stratēģiju: divkvadrāts nozīmē: "divreiz kvadrātisks. Ja jūs to domājat, terminu x4 var izteikt kā (x 2), kas paaugstināts līdz 2, kas dod mums x4. Citiem vārdiem sakot, iedomājieties, ka nezināmā vadošais termins ir 3 × 4. Līdzīgi ir pareizi teikt, ka šo terminu var uzrakstīt arī kā 3 (x2) 2.
- Diofantīni: tas ir algebrisks uzdevums, kuram ir divi vai vairāki nezināmie, turklāt tā koeficienti ietver visus skaitļus, kuriem jāmeklē dabiskie vai veseli skaitļu risinājumi. Tas padara viņus par daļu no visas numuru grupas.
Šie vingrinājumi tiek parādīti kā ax + by = c ar pietiekama un vajadzīga nosacījuma īpašību, lai ax + by = c ar a, b, c, kas pieder veseliem skaitļiem, būtu risinājums.
- Racionāli: tos definē kā polinomu dalījumu, tos pašus, kuros saucējam ir vismaz 1 grāds. Runājot konkrēti, saucējā ir jābūt pat vienam mainīgajam. Vispārīgā forma, kas pārstāv racionālu funkciju, ir:
Kuros p (x) un q (x) ir polinomi un q (x) ≠ 0.
- Ekvivalenti: tas ir uzdevums ar matemātisku vienlīdzību starp divām matemātiskām izteiksmēm, sauktām par dalībniekiem, kurās parādās zināmi elementi vai dati, un nezināmiem vai nezināmiem elementiem, kas saistīti ar matemātiskām darbībām. Par vērtībām vienādojuma jābūt veido skaitļu, koeficientu vai konstantēm; līdzīgi mainīgajiem vai sarežģītiem objektiem, piemēram, vektoriem vai funkcijām, jauniem elementiem jābūt izveidotiem ar citiem sistēmas vienādojumiem vai kādu citu procedūru funkciju risināšanai.
Transcendenti vienādojumi
Tas ir nekas cits kā vienlīdzība starp divām matemātiskām izteiksmēm, kurām ir viens vai vairāki nezināmie, kas saistīti ar matemātiskām darbībām, kuras ir tikai algebriskas un kurām ir risinājums, kuru nevar sniegt, izmantojot algebras specifiskos vai pareizos rīkus. Vingrinājumu H (x) = j (x) sauc par pārpasaulīgu, ja viena no funkcijām H (x) vai j (x) nav algebriska.
Diferenciālvienādojumi
Tajos funkcijas ir saistītas ar katru to atvasinājumu. Funkcijas mēdz attēlot noteiktus fiziskos lielumus, no otras puses, atvasinājumi atspoguļo izmaiņu ātrumus, savukārt vienādojums nosaka attiecības starp tām. Pēdējiem ir liela nozīme daudzās citās disciplīnās, tostarp ķīmijā, bioloģijā, fizikā, inženierzinātnēs un ekonomikā.
Integrālie vienādojumi
Nezināms šo datu funkcijās parādās tieši neatņemamajā daļā. Integrālajiem un diferenciālajiem vingrinājumiem ir daudz saistību, pat dažas matemātiskas problēmas var formulēt ar kādu no šiem diviem, piemēram, Maksvela viskoelastības modelis.
Funkcionālie vienādojumi
To izsaka, izmantojot nezināmu funkciju un neatkarīgu mainīgo kombināciju, turklāt ir jāatrisina gan tā vērtība, gan izteiksme.
Stāvokļa vienādojumi
Tie ir hidrostatisko sistēmu konstitutīvie vingrinājumi, kas apraksta vielas agregācijas vai palielināšanās vispārējo stāvokli, turklāt tas pārstāv saikni starp tilpumu, temperatūru, blīvumu, spiedienu, stāvokļa funkcijām un iekšējo enerģiju, kas saistīta ar matēriju..
Kustības vienādojumi
Tas ir tas matemātiskais apgalvojums, kas izskaidro mainīgā vai mainīgo lieluma grupas, kas nosaka sistēmas fizisko stāvokli, laika attīstību ar citām fiziskām dimensijām, kas veicina sistēmas maiņu. Šis vienādojums materiālo punktu dinamikā nosaka objekta nākotnes stāvokli, pamatojoties uz citiem mainīgajiem lielumiem, piemēram, uz tā masu, ātrumu vai jebkuru citu, kas var ietekmēt tā kustību.
Pirmais kustības vienādojuma piemērs fizikā bija Ņūtona otrā likuma izmantošana fiziskām sistēmām, kas sastāv no daļiņām un punktveida materiāliem.
Konstitutīvie vienādojumi
Tas nav nekas cits kā attiecības starp fizikālajā sistēmā esošajiem mehāniskajiem vai termodinamiskajiem mainīgajiem lielumiem, tas ir, tur, kur ir spriedze, spiediens, deformācija, tilpums, temperatūra, entropija, blīvums utt. Visām vielām ir ļoti specifiska konstitutīva matemātiska sakarība, kuras pamatā ir iekšējā molekulārā organizācija.
Vienādojumu risināšana
Lai atrisinātu vienādojumus, ir pilnīgi jāatrod to risinājuma domēns, tas ir, nezināmo vērtību kopa vai vērtību grupa, kurā tiek izpildīta viņu vienlīdzība. Var izmantot vienādojumu kalkulatoru, jo šīs problēmas parasti tiek izteiktas vienā vai vairākos vingrinājumos.
Ir arī svarīgi pieminēt, ka ne visiem šiem vingrinājumiem ir risinājums, jo ir diezgan iespējams, ka nezināmajā nav vērtības, kas pārbaudītu iegūto vienlīdzību. Šāda veida gadījumos vingrinājumu risinājumi ir tukši, un tas tiek izteikts kā neatrisināms vienādojums.
Vienādojumu piemēri
- Kustība: ar kādu ātrumu sacīkšu automašīnai jābrauc, lai ceturtdaļas stundas laikā nobrauktu 50 km? Tā kā attālums tiek izteikts kilometros, laiks ir jāraksta stundu vienībās, lai ātrums būtu km / h. Kad tas ir skaidrs, tad kustības ilgums ir:
Automašīnas nobrauktais attālums ir:
Tas nozīmē, ka tā ātrumam jābūt:
Formula ir:
Tāpēc mums ir jāatstāj "n", un mēs iegūstam:
Tad dati tiek aizstāti:
Un summa skaitu molu ir 13,64 molu.
Tagad jāaprēķina masa. Tā kā tā ir ūdeņraža gāze, ir jāatsaucas uz tās atomu svaru vai molāro masu, kas ir divcilmes molekula, kas sastāv no diviem ūdeņraža atomiem.
Tās molekulmasa ir 2 g / mol (diatomisko īpašību dēļ), tad to iegūst:
Tas ir, ir iegūta masa 27,28 grami.
- Konstitutīvs: pie stingras sijas ir piestiprināti 3 stieņi. Dati ir: P = 15 000 lbf, a = 5 pēdas, b = 5 pēdas, c = 8 pēdas (1 pēdas = 12 collas).
Risinājums ir tāds, ka tiek pieņemts, ka ir nelielas deformācijas un ka skrūve ir pilnīgi stingra, tāpēc, pielietojot spēku P, sija AB griezīsies stingri saskaņā ar punktu B.
